Что (кто) такое Ортогональные многочлены - определение
Ортогональные многочлены
специальные системы многочленов {рп (х)}; n = 0, 1, 2,..., ортогональных с весом ρ(х) на отрезке [а, b ] (см. Ортогональная система функций). Нормированная система О. м. обозначается через 
, а система О. м., старшие коэффициенты которых равны 1,- через 
. В краевых задачах математической физики часто встречаются системы О. м., для которых вес ρ(х) удовлетворяет дифференциальному уравнению (Пирсона)
Многочлен рп (х) такой системы удовлетворяет дифференциальному уравнению
где γn =n [(α1 + (n + 1)β2].
Наиболее важные системы О. м. (классические) относятся к этому типу; они получаются (с точностью до постоянного множителя) при указанных ниже а, b и ρ(х).
1) Якоби многочлены {Рп (λ,μ)(х)} - при а = -1, b = 1 ρ(х) = (1-х)λ (1 + x)μ, λ > -1, μ > -1. Специальные частные случаи многочленов Якоби соответствуют следующим значениям λ и μ: λ = μ- Ультрасферические многочлены 
(их иногда называют многочленами Гегенбауэра); λ = μ = -1/2, т. е. 
- Чебышева многочлены 1-го рода Tn (x); λ = μ = 1/2, т. е. 
- Чебышева многочлены 2-го рода Un (x); λ = μ = 0, т. е. ρ(х) ≡ 1 - Лежандра многочлены Рп (х).
2) Лагерра многочлены Ln (x) - при а = 0, b = + ∞ и ρ(х) = е-х (их наз. также многочленами Чебышева - Лагерра) и обобщённые многочлены Лагерра 
- при 
.
3) Эрмита многочлены Нn (х) - при а = -∞, b = + ∞ и 
(их называют также многочленами Чебышева - Эрмита).
О. м. обладают многими общими свойствами. Нули многочленов рn (х) являются действительными и простыми и расположены внутри [а, b ]. Между двумя последовательными нулями многочлена рn (х) лежит один нуль многочлена pn+1 (х). Многочлен рn (х) может быть представлен в виде т. н. формулы Родрига
где An - постоянное, а β(х) см. формулу (*). Каждая система О. м. обладает свойствами замкнутости. Три последовательных О. м. 
, 
,
связаны рекуррентным соотношением:
где ап+2 и λn+2 следующим образом выражаются через коэффициенты этих многочленов: если
то
Общая теория О. м. построена П. Л. Чебышевым. Основным аппаратом изучения О. м. явилось для него разложение интеграла 
в непрерывную дробь с элементами вида х - an и числителями λn-1. Знаменатели φn (х)/рn (х) подходящих дробей этой непрерывной дроби образуют систему О. м. на отрезке [a, b ] относительно веса ρ(х).
Приведённые выше классические системы О. м. выражаются через гипергеометрическую функцию (См. Гипергеометрические функции).
Лит.: Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962; см. также лит. при ст. Ортогональная система функций.
В. И. Битюцков.
Ортогональные многочлены
В математике последовательностью ортогональных многочленов называют бесконечную последовательность действительных многочленов
Ортогональная система координат
Ортогональными называются криволинейные координаты, в которых метрический тензор имеет диагональный вид.
Википедия
Ортогональные многочлены
В математике последовательностью ортогональных многочленов называют бесконечную последовательность действительных многочленов
